La démonstration

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Théorème de Pythagore

"Ces longues chaînes de raisons, toutes simples et faciles, dont les géomètres ont coutume de se servir pour parvenir à leurs plus difficiles démonstrations, m'avaient donné occasion de m'imaginer que toutes les choses, qui peuvent tomber sous la connaissance des hommes, s'entre-suivent en même façon, et que, pourvu seulement qu'on s'abstienne d'en recevoir aucune pour vraie qui ne le soit, et qu'on garde toujours l'ordre qu'il faut pour les déduire les unes des autres, il n'y en peut avoir de si éloignées auxquelles enfin on ne parvienne, ni de si cachées qu'on ne découvre. Et je ne fus pas beaucoup en peine de chercher par lesquelles il était besoin de commencer : car je savais déjà que c'était par les plus simples et les plus aisées à connaître ; et considérant qu'entre tous ceux qui ont ci-devant recherché la vérité dans les sciences, il n'y a eu que les seuls mathématiciens qui ont pu trouver quelques démonstrations, c'est-à-dire quelques raisons certaines et évidentes, je ne doutais point que ce ne fût par les mêmes qu'ils ont examinées ; bien que je n'en espérasse aucune autre utilité, sinon qu'elles accoutumeraient mon esprit à se repaître de vérités et ne se point contenter de fausses raisons."

Descartes, Discours de la méthode, 1637.

Problèmes essentiels

Qu'est-ce que démontrer ? Quels sont les différents contextes dans lesquels on peut parler de "démonstration" ?

Quelle forme de certitude la démonstration mathématique nous permet-elle d'atteindre ? Ou, autrement dit, qu'est-ce qu'une "vérité mathématique" ? Le mot "vérité" a-t-il ici le même sens que lorsqu'il est utilisé dans la vie courante ou dans les sciences (aussi bien les sciences de la nature que les sciences humaines) ?

La question des limites de la démonstration : Toutes les vérités peuvent-elles être acquises par la démonstration ? Quels sont les autres moyens d'accès à la vérité ?

Textes et références utiles

Qu'est-ce que démontrer ? :

  Selon le dictionnaire philosophique Lalande :" une démonstration est une déduction destinée à prouver la vérité de sa conclusion en s’appuyant sur des prémisses reconnues ou admises comme vraies."
  Une démonstration est un raisonnement dans lequel les propositions s'enchainent selon la forme du syllogisme. La théorie du syllogisme a été formulée par Aristote dans ses Premiers et ses Seconds analytiques :
  "Le syllogisme est un discours dans lequel, certaines choses étant posées, quelque chose d'autre en résulte nécessairement par le seul fait de ces données." (Aristote, Premiers analytiques).

Le statut d'une vérité logique ou mathématique :

Voir ce texte du philosophe et logicien Robert Blanché pour lequel il ne faut pas confondre vérité et validité d'un raisonnement.

En quoi la question du statut des vérités mathématiques a été affectée par l'invention des géométries non-euclidiennes : Autre texte de Blanché.

Force et limites de la logique et des mathématiques par rapport aux autres sciences :

C'est en logique et en mathématiques que l'on peut atteindre des vérités vraiment certaines et indiscutables [bien que ce soit toujours dans le cadre d'un certain système (voir problématique de la question des fondements)] parce que, comme le dit Kant, dans ces disciplines, l'esprit n'a affaire qu'à lui-même et à ses propres productions et règles; mais les énoncés de ces "sciences" ne portent sur aucun objet réel. La question peut même se poser de savoir si elles doivent être appelées des sciences. Sur ce point, lire ce texte de Kant, tiré de la Critique de la raison pure

Que l'on ne peut tout démontrer :

- Limites internes à toute démonstration : Pascal, De l'esprit géométrique : qu'il est impossible de tout démontrer.

- Limites externes (ou les vérités qui échappent à la démonstration) : Pascal, Vérités de cœur/vérités de raison : qu'il y a des vérités qui sont saisies par l'intuition, le sentiment ou le "cœur".

Vocabulaire

Distinguer :

Démontrer/prouver : "On prouve par des témoignages, par des actes, par des preuves, en un mot; on démontre par des arguments. Un fait se prouve, mais ne se démontre pas. Une proposition se démontre; mais elle se prouve aussi, quand les arguments sont considérés comme des preuves." (Littré)

Intuition/Déduction : Voir partie lexique du site.

Axiome/postulat/Théorème : Les deux premiers termes dont les différences sont subtiles et sujettes à discussion désignent des propositions qui servent de fondements à une démonstration en mathématiques et qui sont posées sans être démontrées : soit parce que leur vérité semble évidente par elle-même (et que ces propositions sont considérées comme n'ayant pas besoin d'être démontrées ou comme indémontrables), soit parce qu'est affirmé et assumé leur statut de pures conventions.
Un théorème en revanche est une proposition démontrée.

Vérité formelle/vérité matérielle ou vérité de raison/vérité de fait : Les vérités formelles sont celles que l'on obtient à titre de conclusions d'un raisonnement déductif ou d'une démonstration. La raison seule suffit à les établir. Les vérités de fait ou matérielles portent sur des états de fait extérieurs à l'esprit, donc sur une forme d'observation (directe ou indirecte selon le domaine concerné). Une vérité formelle est nécessaire; une vérité de fait a un caractère contingent irréductible. Voir sur ce point ce texte de Hume

Exemples de sujets

Faut-il vouloir tout démontrer ? (Bac S 2004)
Peut-on tout démontrer ?
L'expérience peut-elle démontrer quelque chose ? (Bac S 2006)
Y'a-t-il d'autres moyens que la démonstration pour établir une vérité ? (Bac S 2008)
Y'a-t-il des limites à la démonstration ? (Bac S 2006)
Y'a-t-il de l'indémontrable ?