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Les hommes, n'ayant pu guérir la mort, la misère, l'ignorance, se sont avisés pour se rendre heureux de n'y point penser
(Pascal)





La démonstration et les mathématiques



Notions également traitées dans ce chapitre : La raison et le réel - La vérité - Théorie et expérience

Une image, un texte



Théorème de Pythagore

"Ces longues chaînes de raisons, toutes simples et faciles, dont les géomètres ont coutume de se servir pour parvenir à leurs plus difficiles démonstrations, m'avaient donné occasion de m'imaginer que toutes les choses, qui peuvent tomber sous la connaissance des hommes, s'entre-suivent en même façon, et que, pourvu seulement qu'on s'abstienne d'en recevoir aucune pour vraie qui ne le soit, et qu'on garde toujours l'ordre qu'il faut pour les déduire les unes des autres, il n'y en peut avoir de si éloignées auxquelles enfin on ne parvienne, ni de si cachées qu'on ne découvre. Et je ne fus pas beaucoup en peine de chercher par lesquelles il était besoin de commencer : car je savais déjà que c'était par les plus simples et les plus aisées à connaître ; et considérant qu'entre tous ceux qui ont ci-devant recherché la vérité dans les sciences, il n'y a eu que les seuls mathématiciens qui ont pu trouver quelques démonstrations, c'est-à-dire quelques raisons certaines et évidentes, je ne doutais point que ce ne fût par les mêmes qu'ils ont examinées ; bien que je n'en espérasse aucune autre utilité, sinon qu'elles accoutumeraient mon esprit à se repaître de vérités et ne se point contenter de fausses raisons."


Descartes, Discours de la méthode, 1637.


Problèmes essentiels

  1. Qu'est-ce que démontrer ? Quels sont les différents contextes dans lesquels on peut parler de "démonstration" ?

  2. Quelle forme de certitude la démonstration mathématique nous permet-elle d'atteindre ? Ou, autrement dit, qu'est-ce qu'une "vérité mathématique" ? Le mot "vérité" a-t-il ici le même sens que lorsqu'il est utilisé dans la vie courante ou dans les sciences (aussi bien les sciences de la nature que les sciences humaines) ?

  3. La question des limites de la démonstration : Toutes les vérités peuvent-elles être acquises par la démonstration ? Quels sont les autres moyens d'accès à la vérité ?

Cours

  1. Qu'est-ce qu'une démonstration ?


  2. Les mathématiques, modèle de toute connaissance ?

  3. Pour quelles raisons peut-on concevoir les mathématiques ou la logique comme un modèle pour les autres connaissances ? Qu'est-ce qui fait leur force ? Quelles sont les limites de ce modèle ?

    1. Voir d'abord ce texte de Descartes mis en introduction de la fiche, ainsi que celui-ci du philosophe et logicien Robert Blanché sur les Eléments d'Euclide.
    2. Les comparer avec ces textes de Kant : Texte 1 - Texte 2.

  4. Qu'est-ce qu'une vérité mathématique ?

  5. Comme nous l'avons vu dans le chapitre sur la vérité (voir en particulier le paragraphe intitulé "Vérité correspondance et vérité cohérence"), il y a différentes sortes de vérités, des domaines très différents dans lesquels on peut parler de "vérité". Qu'entend-on par "vérité mathématique" ?

    1. Distinguer vérité et validité : voir ce texte de Robert Blanché pour lequel il ne faut pas confondre vérité et validité d'un raisonnement.

    2. Enseignement de l'invention des géométries non-euclidiennes :
      - Blanché, Les géométries non-euclidiennes et la vérité mathématique (Questions sur ce texte).
      - Henri Poincaré, Les axiomes sont des conventions.
      - Bertrand Russell, Mathématiques et vérité.

  6. Peut-on tout démontrer ?

Vocabulaire

Distinguer :

Démontrer/prouver : "On prouve par des témoignages, par des actes, par des preuves, en un mot; on démontre par des arguments. Un fait se prouve, mais ne se démontre pas. Une proposition se démontre; mais elle se prouve aussi, quand les arguments sont considérés comme des preuves." (Littré)

Intuition/Déduction : Ces termes désignent deux manières différentes d'accéder au vrai.
  L'intuition est une opération de l'esprit par laquelle il saisit une vérité dans une certaine immédiateté. L'intuition peut être soit intellectuelle, soit sensible.
  La déduction suppose quant à elle la mise en œuvre d'une pensée discursive (voir définition de ce terme dans le lexique), d'un raisonnement, par lequel la vérité d'une proposition va être établie (par étapes successives) en la tirant d'une ou plusieurs propositions antécédentes qui en constituent les prémisses. Voir partie lexique du site.

Axiome/postulat/Théorème : Les deux premiers termes dont les différences sont subtiles et sujettes à discussion désignent des propositions qui servent de fondements à une démonstration en mathématiques et qui sont posées sans être démontrées : soit parce que leur vérité semble évidente par elle-même (et que ces propositions sont considérées comme n'ayant pas besoin d'être démontrées ou comme indémontrables), soit parce qu'est affirmé et assumé leur statut de pures conventions. (Voir également le lexique)
   Un théorème en revanche est une proposition démontrée.

Vérité formelle/vérité matérielle ou vérité de raison/vérité de fait : Les vérités formelles sont celles que l'on obtient à titre de conclusions d'un raisonnement déductif ou d'une démonstration. La raison seule suffit à les établir. Les vérités de fait ou matérielles portent sur des états de fait extérieurs à l'esprit, donc sur une forme d'observation (directe ou indirecte selon le domaine concerné). Une vérité formelle est nécessaire; une vérité de fait a un caractère contingent irréductible.

Exemples de sujets




Dernière mise à jour : 04/11/2014.